Perspective isométrique — Wikipédia

نوشته شده در موضوع خرید اینترنتی در ۱۶ آذر ۱۳۹۵

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La perspective isométrique est une méthode de représentation en viewpoint dans laquelle les trois directions de l’espace sont représentées avec la même importance, d’où le terme.

C’est un cas particulier de viewpoint axonométrique.

Principe[modifier | modifier le code]

En géométrie analytique, on définit un repère orthonormé.

La viewpoint isométrique conform à une vue selon la droite de vecteur directeur (1, 1, 1) dans ce repère. Ainsi, un brick dont les arêtes suivent les axes du repère se voit selon sa grande diagonale, comme un hexagone.

Les axes se projettent donc sur un devise perpendiculaire à cette grande diagonale. Les longueurs subissent une réduction (la projection est une isométrie, le facteur de réduction est le même flow toutes les longueurs sur un mattock donné).

C’est une viewpoint qui est rudimentary à exécuter dans le cas de formes simples. C’est une estimation de la vue « réelle », qui est satisfaisante tant que la profondeur reste faible : en particulier elle ne prend pas en compte la réduction apparente de taille avec l’éloignement.

Elle est très utilisée flow la représentation normalisée des tuyauteries ; on ne représente que l’axe des tuyaux sans s’intéresser à l’échelle. Les tuyauteurs utilisent un document, la « trame iso », avec un quadrillage reprenant les directions des axes.

Règles de bottom flow dessiner en viewpoint isométrique[modifier | modifier le code]

Les mesures[modifier | modifier le code]

On parle de viewpoint isométrique automobile les distances sont reportées de la même manière sur les trois axes. On applique à toutes les longueurs qui sont colinéaires à un mattock un fellow réducteur de 0,82.

Dans le cas de la représentation d’un objet, on définit d’abord une face de l’objet que l’on considère comme la face avant, et l’on y place un repère ; dans ce plan, on n’a donc que deux axes visibles, le troisième est perpendiculaire au dessin. L’origine du repère est en général placée dans un coin.

On réalise ensuite deux vues (au moins) qui sont les projections orthogonales de l’objet sur la face avant et sur une face perpendiculaire (face de gauche, de droite, du dessus ou du dessous). Ensuite, il suffit de mesurer les coordonnées des points dans ce repère à partir des deux figures, et de contributor ces coordonnées sur les axes de la viewpoint isométrique en appliquant ce fellow de 0,82.

Les angles[modifier | modifier le code]

Les angles entre les axes (x, y et z) sont tous égaux (120°).

Les cercles[modifier | modifier le code]

Les cercles sont des formes importantes dans le dessin technique ; ceci est une conséquence des procédés de phony des pièces (usinage) : perçage, fraisage, tournage… Ils sont aussi importants en génie polite (débouchés de tuyaux, arc en plein-cintre, giratoires…). Lorsque l’on génère la viewpoint isométrique standard ordinateur, celui-ci peut calculer la mutation du cercle. Mais ceci devient compliqué lorsque l’on dessine à la main.

Remarquons dans un premier temps qu’un cercle est toujours inscrit dans un carré auquel il est 4 fois tangent, au feel des côtés. En vue de face, on contraint donc le cercle dans un carré.

En viewpoint isométrique, ce carré devient un parallélogramme. Les tangences restent les mêmes (milieu des côtés), mais le cercle devient une ellipse.

La projection ambiguous fait varier le diamètre du cercle entre 1 (grand diamètre de l’ellipse, donc diamètre plane du cercle de départ projeté en vraie grandeur) et 0,58 (son petit diamètre, vu sous sa and importante réduction dans la instruction de la and grande pente).

Des trace-ellipses normalisés permettent de tracer des ellipses respectant ces proportions flow plusieurs tailles de grand axe.

Défauts et limites de la viewpoint isométrique[modifier | modifier le code]

Comme toutes les projections et toutes les perspectives, la perte de la troisième dimension induit des erreurs possibles d’interprétation. Ceci a été abondamment utilisé standard l’artiste M. C. Escher flow créer des situations impossibles.

En l’occurrence, un déplacement de 1 cm sur l’axe z se traduit graphiquement de la même manière qu’un déplacement de 1 cm selon l’axe des x et des y, soit un déplacement de √۲ ≈ ۱,۴۱ selon la « diagonale » de (x, y).

Utilisations de la viewpoint isométrique[modifier | modifier le code]

Utilisation en dessin technique[modifier | modifier le code]

En dessin industriel, on représente une pièce sous différents angles de vue, perpendiculairement à des axes. Ces axes sont « naturels » : une pièce ayant une fonction mécanique (liaison et mouvement avec d’autres pièces), elle présente des contraintes de forme et d’usinage qui rise qu’elle a en général un mattock de symétrie ou des faces planes. Ces axes ou les arêtes de ces faces permettent de définir un repère quadratic (que l’on choisit orthonormé).

On peut donc facilement exécuter une viewpoint isométrique d’une pièce à partir des vues en géométrie detailed utilisées habituellement.

La viewpoint isométrique permet au lecteur de se représenter facilement la forme de la pièce, mais ne permet pas de transmettre des informations utiles à la source et à la réalisation de la pièce.

Utilisation en architecture[modifier | modifier le code]

Eugène Viollet-le-Duc l’a utilisée dans plusieurs de ses tableaux de châteaux (et de leurs bâtiments annexes) flow éviter d’accentuer l’importance de certains de ces éléments et de la position de l’observateur (le arrogant de la viewpoint cavalière dans l’observation des fortifications).

Utilisation dans les jeux vidéo[modifier | modifier le code]

Un certain nombre de jeux vidéo (comme Zaxxon, Marble Madness, ou encore Crafton et Xunk) mettant en œuvre des personnages utilisent une vue design en viewpoint isométrique ; on parle souvent, dans ce domaine, de « perspective 3/4 ». D’un indicate de vue pratique, cela permet de déplacer les éléments graphiques (sprites) sans en changer la taille, ce qui était indispensable lorsque les ordinateurs étaient peu puissants, et présente toujours un grand intérêt flow les consoles de poche.

Cela poise cependant quelques problèmes de difficulty (du fait de l’aplatissement de l’image, la profondeur est rendue standard un déplacement dans le plan).

En raison de la pixellisation, et dans un souci d’optimisation des calculs, certains jeux rise progresser les axes selon un rapport de 2:1, ceux-ci sont donc inclinés d’un angle de 26,6° (arctan 0,5) au lieu de 30°. Ce n’est donc pas de la viewpoint isométrique à proprement parler, mais une viewpoint dimétrique (un autre form de viewpoint axonométrique), mais le terme « isométrique » est cependant utilisé standard abus de langage.

Approche mathématique[modifier | modifier le code]

La viewpoint isométrique est en fait une projection sur un devise selon un mattock quadratic à ce plan : une projection orthogonale. C’est une focus linéaire.

Facteur de news sur les axes[modifier | modifier le code]

On peut calculer le facteur de proportionnalité sur les axes simplement grâce à la trigonométrie :

  • considérons l’arête du brick qui va de l’origine au indicate (0,0,1) ; elle fait un angle α avec le devise de projection, le projeté a donc une longueur de cos α ;
  • α est aussi l’angle entre la normale au devise de projection passant standard l’origine et standard le indicate (1,1,1), et la bissectrice des axes x et y qui passe standard (1,1,0) ;
  • dans le triangle formé standard les points (0,0,0), (1,1,0) et (1,1,1) est un triangle rectangle ; le shred [(0,0,0), (1,1,0)] a flow longueur √۲ (diagonale du carré), le shred [(1,1,0), (1,1,1)] a flow longueur 1, et l’hypoténuse [(0,0,0), (1,1,1)] a flow longueur √۳

On a donc

cos⁡α=۲۳≃۰,۸۲{displaystyle cos alpha ={sqrt {frac {2}{3}}}simeq 0,82}.

On en déduit que α ≈ ۳۵,۲۶ °.

On peut aussi utiliser le produit scalaire :

  • le vecteur unitaire porté standard la grande diagonale est (1/√۳, ۱/√۳, ۱/√۳) ;
  • l’arête [(0,0,0), (0,0,1)] se projette sur la grande diagonale en un shred de longueur k1, et sur le devise normal à cette grande diagonale en un shred de longueur k2
  • k1 est le produit scalaire de a→{displaystyle {vec {a}}} et de b→{displaystyle {vec {b}}}, et peut se calculer avec les coordonnées : k1=a→b→=۱×۱/۳+۰×۱/۳+۰×۱/۳=۱/۳{displaystyle k_{1}={vec {a}}cdot {vec {b}}=1times 1/{sqrt {3}}+0times 1/{sqrt {3}}+0times 1/{sqrt {3}}=1/{sqrt {3}}}
  • le théorème de Pythagore nous indique que k12 + k22 = 1 (longueur de l’arête du cube).

On a donc :

k2=23≃۰,۸۲{displaystyle k_{2}={sqrt {frac {2}{3}}}simeq 0,82}.

Les longueurs des segments sur les axes du repère se projettent donc avec un facteur de 0,82.

On arrive également à cette end en utilisant la formule générale des projections orthogonales, voir Perspective axonométrique Perspective isométrique.

Par ailleurs, si l’on considère le cercle unité du devise (x, y), le rayon se projetant selon la ligne de and grande pente est la première bissectrice du plan, avec un facteur de projection valant impiety α = k1 = 1/√۳ ≈ ۰,۵۸, ce qui conform au petit mattock de l’ellipse.

Transformation des coordonnées[modifier | modifier le code]

La mutation des coordonnées cartésienne est utilisée flow calculer les vues à partir des coordonnées des points, standard exemple dans le cas de jeux vidéo ou de logiciels de représentation graphique 3D.

Supposons l’espace muni d’une bottom orthonormée directe (e→۱,e→۲,e→۳){displaystyle ({vec {e}}_{1},{vec {e}}_{2},{vec {e}}_{3})}. La projection P se fait selon le vecteur u→{displaystyle {vec {u}}} de composantes (1,1,1), c’est-à-dire le vecteur u→=e→۱+e→۲+e→۳{displaystyle {vec {u}}={vec {e}}_{1}+{vec {e}}_{2}+{vec {e}}_{3}}, selon le devise représenté standard ce même vecteur.

Comme toute focus linéaire, elle peut être représentée standard la mutation des vecteurs de la base, puisqu’un vecteur v→=v1⋅e→۱+v2⋅e→۲+v3⋅e→۳{displaystyle {vec {v}}=v_{1}cdot {vec {e}}_{1}+v_{2}cdot {vec {e}}_{2}+v_{3}cdot {vec {e}}_{3}} quelconque se transforme selon

P(v→)=P(v1⋅e→۱+v2⋅e→۲+v3⋅e→۳){displaystyle mathrm {P} ({vec {v}})=mathrm {P} (v_{1}cdot {vec {e}}_{1}+v_{2}cdot {vec {e}}_{2}+v_{3}cdot {vec {e}}_{3})}
P(v→)=v1⋅P(e→۱)+v2⋅P(e→۲)+v3⋅P(e→۳){displaystyle mathrm {P} ({vec {v}})=v_{1}cdot mathrm {P} ({vec {e}}_{1})+v_{2}cdot mathrm {P} ({vec {e}}_{2})+v_{3}cdot mathrm {P} ({vec {e}}_{3})}

Soit e→n′=P(e→n){displaystyle {vec {e}},’_{n}=mathrm {P} ({vec {e}}_{n})}. Appelons ){displaystyle ({vec {imath }},{vec {jmath }})} la bottom orthonormée directe dans le devise de projection. On choisit arbitrairement que e→۱′{displaystyle {vec {e}},’_{1}} fait un angle de -π/۶ avec ı{displaystyle {vec {imath }}}.

L’application des calculs flow les projections orthogonales au cas particulier de la viewpoint isométrique nous donne (voir Perspective axonométrique Perspective isométrique) :

  • e→۱′=۲۲⋅ı۱۶⋅ȷ{displaystyle {vec {e}},’_{1}={frac {sqrt {2}}{2}}cdot {vec {imath }}-{frac {1}{sqrt {6}}}cdot {vec {jmath }}} ; k1=23{displaystyle k_{1}={sqrt {frac {2}{3}}}}
  • e→۲′=−۲۲⋅ı۱۶⋅ȷ{displaystyle {vec {e}},’_{2}=-{frac {sqrt {2}}{2}}cdot {vec {imath }}-{frac {1}{sqrt {6}}}cdot {vec {jmath }}} ; k2=k1{displaystyle k_{2}=k_{1}}
  • e→۳′=۲۳⋅ȷ{displaystyle {vec {e}},’_{3}={sqrt {frac {2}{3}}}cdot {vec {jmath }}} ; k3=k1{displaystyle k_{3}=k_{1}}

La matrice de la projection MP est donc

MP=(22−۲۲۰−۱۶−۱۶۲۳){displaystyle mathrm {M_{P}} ={begin{pmatrix}{frac {sqrt {2}}{2}}-{frac {sqrt {2}}{2}}0\-{frac {1}{sqrt {6}}}-{frac {1}{sqrt {6}}}{sqrt {frac {2}{3}}}\end{pmatrix}}}

Considérons un indicate (x, y, z) de l’espace qui se projette en (x‘, y‘). Sa projection sera donc :

(x′y′)=MP⋅(xyz)=(22(x−y)23z−۱۶(x+y)){displaystyle {begin{pmatrix}x’\y’\end{pmatrix}}=mathrm {M_{P}} cdot {begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}{frac {sqrt {2}}{2}}(x-y)\{sqrt {frac {2}{3}}}z-{frac {1}{sqrt {6}}}(x+y)\end{pmatrix}}}

Voir aussi Projection (géométrie) Projection sur un devise parallèlement à une droite en géométrie analytique.

Transformation d’un cercle d’un devise contenant deux axes[modifier | modifier le code]

Considérons le cercle trigonométrique du devise (e→۱,e→۳){displaystyle ({vec {e}}_{1},{vec {e}}_{3})}. Les coordonnées paramétriques de ses points sont :

(xyz)=(cos⁡θsin⁡θ۰){displaystyle {begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}cos theta \sin theta \0\end{pmatrix}}}

Les coordonnées des points projetés dans la bottom ){displaystyle ({vec {imath }},{vec {jmath }})} sont donc

(x′y′)=(۲۲(cos⁡θsin⁡θ)−۱۶(cos⁡θ+sin⁡θ)){displaystyle {begin{pmatrix}x’\y’\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}{frac {sqrt {2}}{2}}(cos theta -sin theta )\-{frac {1}{sqrt {6}}}(cos theta +sin theta )\end{pmatrix}}}

La stretch à l’origine est r=x′۲+y′۲{displaystyle r={sqrt {x’^{2}+y’^{2}}}}, soit

r2=23(1−sin⁡θcos⁡θ)=۲۳(۱−۱۲⋅sin⁡۲θ){displaystyle r^{2}={frac {2}{3}}left(1-sin theta cdot cos theta right)={frac {2}{3}}left(1-{frac {1}{2}}cdot impiety 2theta right)}

(formule de Moivre) ; ceci fournit au thoroughfare une équation paramétrique de l’ellipse. Cette stretch varie donc entre 1 et 1/3≃۰,۵۸{displaystyle {sqrt {1/3}}simeq 0,58}. On retrouve les rapports du grand mattock et du petit mattock de l’ellipse.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • Perspective cavalière

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Article source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Perspective_isom%C3%A9trique

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